PROG0495 - Babylonian method
Some square roots like $\sqrt{25}$ or $\sqrt{81}$ are known by heart, but how can we compute for example $\sqrt{17}$? Nowadays, most people use a calculator or a computer to come up with the square root of a number $s$, but how was $\sqrt{s}$ computed at times when calculators or computers weren't even invented?
Heron's method is perhaps the first algorithm used for approximating $\sqrt{s}$. It was named after the first-century Greek mathematician Hero of Alexandria who gave the first explicit description more than 2000 years ago of a method for computing the square root of any given number. This method is also known as the Babylonian method, named after the Babylonians who left us the oldest known mathematical texts.
The Babylonian method works as follows.
Suppose we want to compute the square root of a strictly positive number
$s \in \mathbb{R}$. We start with an initial estimate for $\sqrt{s}$,
which we refer to as $x_0$. Then, in each successive step we compute a
more accurate approximation of the square root using the following
formula: $$ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{s}{x_n} \right) $$
Let's apply this algorithm for example to compute $\sqrt{17}$. We choose
$x_0 = 6$ as an initial estimate of $\sqrt{17}$. In a next step we get the
following more accurate approximation of the square root: $$ x_1 =
\frac{1}{2} \left( 6 + \frac{17}{6} \right) = 4.416666666666667 $$ Then,
we repeat the same procedure to get an even more accurate approximation:
$$ x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{17}{x_1} \right) =
4.1328616352201255 $$ Along the same lines, we keep enhancing the accuracy
of the approximation: $$\begin{align} x_3 & = 4.12311714060797 \\ x_4
& = 4.12310562563374 \\ x_5 & = 4.123105625617661 \\ x_6 & =
4.123105625617661 \end{align}$$ The Babylonian method thus produces a
series of numbers that converges to $\sqrt{17}$. We verify this result
using math.sqrt from the math module:
>>> import math >>> math.sqrt(17) 4.123105625617661
An approximation $x_k$ resulting from step $k$ is considered accurate enough when $$\frac{|x_k - x_{k-1}|}{x_k} \le 10^{-15}$$ In that case it is no longer relevant to come up with even more accurate approximations and the procedure stops.
Input
The first line of the input contains a number $s \in \mathbb{R}$. The second line of the input contains an initial estimate $x_0 \in \mathbb{R}$ of $\sqrt{s}$.
Output
The Babylonian method only works if both
$s$ and $x_0$ are strict positive numbers. If this is not the case, the
message invalid input must be written to output. In case the
input contains valid numbers, the Babylonian method must be applied to
compute successive approximations of $\sqrt{s}$. For each step of the
method, the index of $x_i\ (i = 0, 1, 2, \ldots)$ must be written to
output, followed by a colon, a space and the approximation $x_i$. The
method stops at the first step $k$ where it holds that $$\frac{|x_k -
x_{k-1}|}{x_k} \le 10^{-15}$$ with $x_k$ the approximation that results
from step $k$ and $x_{k-1}$ the approximation that results from step
$k-1$.
Example
Input:
17 6
Output:
0: 6.0 1: 4.416666666666667 2: 4.1328616352201255 3: 4.12311714060797 4: 4.12310562563374 5: 4.123105625617661 6: 4.123105625617661
Example
Input:
2 0
Output:
invalid input
Sommige vierkantswortels zoals $\sqrt{25}$ of $\sqrt{81}$ kennen we van buiten, maar hoe berekenen we bijvoorbeeld $\sqrt{17}$? Vandaag de dag wordt doorgaans een rekenmachine of een computer gebruikt om de vierkantswortel van een getal $s$ te berekenen, maar hoe berekende men $\sqrt{s}$ in de tijd dat er nog geen rekenmachines of computers bestonden?
De methode van Heron is wellicht het oudste algoritme voor de berekening van $\sqrt{s}$. Ze werd vernoemd naar de Griekse wiskundige Heron van Alexandrië die ruim 2000 jaar geleden de eerste expliciete beschrijving gaf van een methode voor het berekenen van de vierkantswortel van een willekeurig getal. Deze methode is ook gekend als de Babylonische methode — een verwijzing naar de Babyloniërs die ons de oudste gekende wiskundeteksten achterlieten.
De Babylonische methode werkt op de
volgende manier. Stel dat we de vierkantswortel willen berekenen van een
strikt positief getal $s \in \mathbb{R}$. We starten met een initiële
schatting van $\sqrt{s}$, en noemen die $x_0$. Daarna bereken we in elke
stap een meer nauwkeurige benadering van de vierkantswortel op basis van
de volgende formule: $$ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{s}{x_n}
\right) $$ Laten we dit algoritme bijvoorbeeld eens toepassen voor de
berekening van $\sqrt{17}$. We kiezen $x_0 = 6$ als een initiële
schatting voor $\sqrt{17}$. In een volgende stap bekomen we de volgende
meer nauwkeurige benadering van de vierkantswortel: $$ x_1 = \frac{1}{2}
\left( 6 + \frac{17}{6} \right) = 4.416666666666667 $$ Daarna herhalen we
de procedure om een nog nauwkeuriger benadering te bekomen: $$ x_2 =
\frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{17}{x_1} \right) = 4.1328616352201255 $$ Op
dezelfde manier blijven we de nauwkeurigheid van de benadering verder
verbeteren: $$\begin{align} x_3 & = 4.12311714060797 \\ x_4 & =
4.12310562563374 \\ x_5 & = 4.123105625617661 \\ x_6 & =
4.123105625617661 \end{align}$$ De Babylonische methode resulteert dus in
een rij van getallen die zal convergeren naar $\sqrt{17}$. We controleren
dit resultaat met math.sqrt uit de math
module:
>>> import math >>> math.sqrt(17) 4.123105625617661
We beschouwen de benadering $x_k$ uit stap $k$ als voldoende nauwkeurig als $$\frac{|x_k - x_{k-1}|}{x_k} \le 10^{-15}$$ Het is dan niet langer zinvol om een betere benadering te berekenen en we mogen de procedure daar stoppen.
Invoer
De eerste regel van de invoer bevat een getal $s \in \mathbb{R}$. De tweede regel van de invoer bevat een initiële benadering $x_0 \in \mathbb{R}$ van $\sqrt{s}$.
Uitvoer
De Babylonische methode werkt alleen maar
indien zowel $s$ als $x_0$ strikt positieve getallen zijn. Indien dit niet
het geval is, dan moet de boodschap ongeldige
invoer uitgeschreven worden. Als de invoer wel geldig is, dan
moet de Babylonische methode toegepast worden om opeenvolgende benadering
van $\sqrt{s}$ te bepalen. Voor elke stap moet het de index van $x_i\ (i =
0, 1, 2, \ldots)$ uitgeschreven worden, gevolgd door een dubbelpunt, een
spatie en de benadering $x_i$. De methode stopt bij de eerste stap $k$
waarvoor geldt dat $$\frac{|x_k - x_{k-1}|}{x_k} \le 10^{-15}$$ met $x_k$
de benadering die bekomen wordt in stap $k$ en $x_{k-1}$ de benadering die
bekomen werd in de stap $k-1$.
Voorbeeld
Invoer:
17 6
Uitvoer:
0: 6.0 1: 4.416666666666667 2: 4.1328616352201255 3: 4.12311714060797 4: 4.12310562563374 5: 4.123105625617661 6: 4.123105625617661
Voorbeeld
Invoer:
2 0
Uitvoer:
ongeldige invoer
| Added by: | Peter Dawyndt |
| Date: | 2014-08-29 |
| Time limit: | 10s |
| Source limit: | 50000B |
| Memory limit: | 1536MB |
| Cluster: | Cube (Intel G860) |
| Languages: | PY_NBC |
| Resource: | None |
RSS