PROG0141 - Approximating pi
There are different ways to calculate the value of the number $\pi$ by means of a computer. You can, for example, calculate the partial sums of the Gregory-Leibniz sequence: $$ \pi = \frac41 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \dots $$ The Indian mathematician Madhaya of Sangamagrama proposed an alternative sequence development in the fourteenth century: $$ \pi = \sqrt{12}\,\left( 1 - \frac1{3\cdot 3} + \frac1{5\cdot 3^2} - \frac1{7\cdot 3^3} + \cdots \right) $$
Assignment
- Write a function GL that prints the sum of the first n terms of the Gregory-Leibniz sequence. The amount of terms $n$ should be given to the function as a parameter.
- Write a function MvS that calculates the sum of the first n terms of the Madhava of Sangamagrama sequence. The number of terms $n$ should be given to the function as a parameter.
- Examine which of both sequences converges the fastest. Use this sequence to write a function approach_pi. This function should allow to determine an approached value of $\pi$, that is precise to $n$ decimals. The value $n$ should be given as an argument of the function. To determine the accuracy of the approach, you should check whether the difference between two consecutive terms in the sequence is smaller than $10^{-n-1}$. When the difference between the ($i-1$)th and the $i$th term becomes smaller than $10^{-n-1}$, the $i$th partial sum forms an approach of $\pi$ to $n$ decimals precisely. The function should give the tuple $(i, p)$ as a result, $i$ is the number of calculated terms and $p$ is the approached value of $\pi$.
Example
>>> GL(2) 2.666666666666667 >>> MvS(2) 3.0792014356780038 >>> approach_pi(2) (8, 3.1416743126988376)
Er bestaan verschillende manieren om de waarde van het getal $\pi$ te berekenen aan de hand van een computer. Zo kan je bijvoorbeeld een partieelsom berekenen van de reeks van Gregory-Leibniz: $$ \pi = \frac41 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \dots $$ De Indische wiskundige Madhava van Sangamagrama stelde reeds in de veertiende eeuw een alternatieve reeksontwikkeling voor: $$ \pi = \sqrt{12}\,\left( 1 - \frac1{3\cdot 3} + \frac1{5\cdot 3^2} - \frac1{7\cdot 3^3} + \cdots \right) $$
Opgave
- Schrijf een functie GL die de som van de eerste n termen van de reeks van Gregory-Leibniz teruggeeft. Het aantal termen $n$ moet als parameter aan de functie meegegeven worden.
- Schrijf een functie MvS die de som van de eerste n termen van de reeks van Madhava van Sangamagrama teruggeeft. Het aantal termen $n$ moet als parameter aan de functie meegegeven worden.
- Onderzoek welk van deze twee reeksen het snelst convergeert. Gebruik deze reeks om een functie benader_pi te schrijven. Deze functie moet toelaten om een benaderde waarde voor $\pi$ te bepalen, die tot op $n$ decimalen nauwkeurig is. De waarde $n$ moet als argument aan de functie meegegeven worden. Om de nauwkeurigheid van de benadering te bepalen, moet je nagaan of het verschil tussen twee opeenvolgende termen in de reeks kleiner is dan $10^{-n-1}$. Op het ogenblik dat het verschil tussen de ($i-1$)-de en de $i$-de term kleiner wordt dan $10^{-n-1}$, vormt de $i$-de partieelsom een benadering van $\pi$ tot op $n$ decimalen nauwkeurig. De functie moet het tupel $(i, p)$ als resultaat teruggeven, waarbij $i$ het aantal berekende termen is en $p$ de benaderde waarde van $\pi$.
Voorbeeld
>>> GL(2) 2.666666666666667 >>> MvS(2) 3.0792014356780038 >>> benader_pi(2) (8, 3.1416743126988376)
| Added by: | Peter Dawyndt |
| Date: | 2011-08-08 |
| Time limit: | 10s |
| Source limit: | 50000B |
| Memory limit: | 1536MB |
| Cluster: | Cube (Intel G860) |
| Languages: | PY_NBC |
| Resource: | None |
RSS