PROG0104 - Basel problem
Around 1735, Swiss mathematician Leonard Euler fixed the famous Basel problem. He found an exact expression for the infinite sum \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \]. Euler proved that this sum equals $\frac{\pi^2}{6}$. We write down the partial sums of this sequence as $f_n$. In other words, \[ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \] For these partial sums, Euler proved that \[ \lim_{n\to\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6} \]
Input
No input
Output
Two lines:
- first line: the value of $f_{100}$ as a decimal number,
- second line: the smallest value $n \in \mathbb{N}$ for which $|f_n - \frac{\pi^2}{6}| \leq \frac{1}{100}$.
Omstreeks 1735 loste de Zwitserse wiskundige Leonard Euler het beroemde probleem van Basel op. Hij vond namelijk een exacte uitdrukking voor de oneindige som \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \] Euler bewees dat deze som exact gelijk is aan $\frac{\pi^2}{6}$. We noteren de partieelsommen van deze reeks als $f_n$. Met andere woorden \[ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \] Voor deze partieelsommen bewees Euler dus dat \[ \lim_{n\to\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6} \]
Invoer
Geen invoer
Uitvoer
Twee regels:
- eerste regel: de waarde van $f_{100}$ als een decimaal getal,
- tweede regel: de kleinste waarde $n \in \mathbb{N}$ waarvoor $|f_n - \frac{\pi^2}{6}| \leq \frac{1}{100}$.
| Added by: | Peter Dawyndt |
| Date: | 2011-08-04 |
| Time limit: | 10s |
| Source limit: | 50000B |
| Memory limit: | 1536MB |
| Cluster: | Cube (Intel G860) |
| Languages: | PY_NBC |
| Resource: | None |
RSS